Allgemeines

Ein Signal ist einer messbaren physikalischer Größe (z.B. Spannung) eine Information zuordnet. Dabei ändert sich im Allgemeinen der Betrag als Funktion der Zeit.

Kontinuierliche und diskrete Signale

Analogsignal

Ein Analogsignal ist im Rahmen der Signaltheorie eine Form eines Signals mit stufenlosem und unterbrechungsfreiem Verlauf. Ein Analogsignal wird als glatte Funktion beschrieben und es lässt sich damit beispielsweise der zeitlich kontinuierliche Verlauf einer physikalischen Größe wie der Schalldruck in Form eines analogen Audiosignals beschreiben. Der Wertebereich eines Analogsignals wird als Dynamikumfang bezeichnet.

Im Gegensatz zu einem Digitalsignal weist ein Analogsignal einen stufenlosen und beliebig feinen Verlauf auf und kann im Dynamikbereich theoretisch unendlich viele Werte annehmen. Bei realen physikalischen Größen ist die Auflösung allerdings durch Störungen wie das Rauschen oder durch Verzerrungen begrenzt.

Bei einem Analogsignal spricht man auch von einem Signal, das wert- und zeitkontinuierlich ist.

Zeitdiskrete Signale

Ein zeitdiskretes Signal kann als Folge \(x[n]\) von reellen Zahlen mit \(n \in \mathbb{N}\) beschrieben werden. Der Index \(n\) stellt die normierte Zeitvariable dar, welche auf die Abtastrate normiert ist. Üblicherweise erfolgt die Abtastung zu konstanten Abständen.

Hier spricht man von einem Signal, das wertkontinuierlich und zeitdiskret ist. Die Darstellung wird im englischen oft als Stem- oder Lollipop-Graph bezeichnet. Die Werte zwischen den diskreten Abtastzeitpunkten sind nicht 0 sondern undefiniert.

Wertdiskrete Signale

Digitale Systeme nutzen AD- und DA-Wandler um Analogsignale in digitale Werte zu wandeln. Bei dieser Quantisierung wird das wertkontinuierliche Signal einer Quantisierungsstufe von aneinandergrenzender Intervalle endlicher Zahl zugewiesen.

Bei diesem Plot ist die Zeit kontinuierlich, die möglichen Werte hingegen diskret. Der nächste Plot zeigt ein Signal, das wert- und zeitdiskret ist.

Während sich zeitkontinuierliche Signale nur als Funktion darstellen lassen kann man bei zeitdiskreten Signalen auch eine Folge angeben. Im obigen Beispiel wäre dies:

$$x[n]=(\ldots,\ 0,\ 3,\ 3,\ 2,\ 0,\ {-1},\ \underline{0},\ 2,\ 4,\ 3,\ 1,\ 0,\ 0,\ \ldots)$$

Um die Position des Index 0 zu markieren wird der entsprechende Wert unterstrichen. Die Folge wird aber auch oft wie folgt angeschrieben:

$$x[n]=0\quad 3\quad 3\quad 2\quad 0\quad {-1}\quad \underline{0}\quad 2\quad 4\quad 3\quad 1\quad 0\quad 0$$

In weiterer Folge werden ausschließlich zeitdiskrete Signale behandelt.

Transformation von Signalen

Verschiebung im Zeitbereich

Bei einer Verschiebung im Zeitbereich wird ein Signal um ein oder mehr Abtastintervalle nach links oder rechts verschoben.

Für die folgenden Beispiele wird dieses Ausgangssignal \(x[n]\) verwendet:

Um die Werte für \(x[n-1]\) zu ermitteln, werden für \(n\) alle natürlichen Zahlen eingesetzt. An der Position 0 ist dies also der Wert von \(x[-1]\), für die Position 1 der Wert von \(x[0]\) usw. Das Signal wird also insgesamt nach rechts geschoben.

Wird eine positive Zahl zum Index addiert verschiebt sich das Signal nach links:

Spiegelung im Zeitbereich

Bei der Spiegelung des Signals um die Y-Achse wird der Index negiert. Der Wert an der Position 0 bleibt gleich, der Wert an der Position 1 ist gleich \(x[-1]\), usw.

Skalierung im Zeitbereich

Bei der Skalierung wird der Index mit einem Faktor multipliziert. Ist dieser Faktor größer als 1 wird das Signal gestaucht. Bei einer Stauchung gehen unmittelbar Werte verloren:

Ist der Faktor kleiner als 1 wird das Signal gestreckt. Nicht definierte Indexe werden mit dem Wert 0 ausgegeben:

Kombination von Transformationen

Wenn Verschiebung, Spiegelung und Skalierung gleichzeitig angewendet werden sollen ist die Reihenfolge wichtig:

• Verschieben
• Spiegeln
• Skalieren

Um die Impulsfolge für das Signal \(x[-2n+2]\) zu ermitteln wird das Signal zuerst Verschoben:

Anschließend gespiegelt:

Und zum Schluss skaliert:

Eigenschaften von Signalen

Gerade und ungerade Signale

Ein Signal ist gerade wenn gilt \(x[n]=x[-n]\), d.h. wenn das Signal gleich dem um die Y-Achse gespiegelten Signal ist.

Ein Signal ist ungerade wenn gilt \(x[n]=-x[-n]\), d.h. wenn das Signal gleich dem um den 0-Punkt um 180 Grad rotierten Signal ist. Diese Symmetrie forder auch, dass der Wert an der Position 0 gleich 0 ist.

Jedes Signal lässt sich in seine gerade und ungerade Komponente zerlegen. Für die gerade Komponente gilt:

$$y_{gerade}[n]=\frac{1}{2}(x[n]+x[-n])$$

Für die ungerade Komponente gilt:

$$y_{ungerade}[n]=\frac{1}{2}(x[n]-x[-n])$$

Periodische Signale

Ein Signal ist periodisch, wenn es die Bedingung \(x[n]=x[n+k*P]\) erfüllt, wobei \(k \in \mathbb{N}\) und \(P\) das Periodenintervall darstellt.

Kausale Signale

Ein Signal nennt man kausal, wenn alle Werte des Signals auf der negativen Zeitachse Null sind. Beispiele dafür sind der Einheitsimpuls oder der Einheitssprung. Sind die Werte des Signals auf der negativen Zeitachse ungleich Null spricht man auch von einem antikausalen Signal.

Elementarsignale

Einheitimpuls

Der Einheitsimpuls \(\delta[n]\) (auch Dirac-Impuls genannt) ist definiert durch:

$$\delta[n]=\begin{cases} 1 & \text{für } n = 0 \\ 0 & \text{für } n \neq 0 \end{cases}$$

Ausblendeigenschaft

Der Einheitsimpuls hat eine Ausblendeigenschaft: Wird ein beliebiges Signal mit dem Einheitsimpuls multipliziert, sind alle Werte 0, außer dem Wert an Position 0 - dieser entspricht dem ursprünglichen Wert des Signals an der Position 0.

Wird der Einheitsimpuls zusätzlich zeitlich verschoben, lässt sich auch die Ausblendeigenschaft entsprechend steuern. Es gilt:

$$x[n]\cdot\delta[n-k]=\begin{cases} x[n] & \text{für } n = k \\ 0 & \text{für } n \neq k \end{cases}$$

Einheitssprung

Der Einheitssprung \(u[n]\) ist definiert durch:

$$u[n]=\begin{cases}1 & \text{für } n \geq 0 \\ 0 & \text{für } n < 0 \end{cases}$$

Der Einheitssprung kann auch als Summe von vielen Einheitsimpulse aufgefasst werden:

$$u[n]=\delta[n] + \delta[n-1] + \delta[n-2] + \delta[n-3] + \ldots=\sum\limits_{k=0}^\infty \delta[n-k]$$

Signalsynthese

Ein Signal lässt sich aus beliebig vielen Komponenten zusammensetzen: